Надо с собой в аэропорту иметь распечатку k-eta или они сами по паспорту проверяют?

Формально бумажка не обязательна: K-ETA привязана к загранпаспорту, и на паспортном контроле в Корее система сама показывает всё, что нужно. Пограничник просто сканирует паспорт, и у него на экране видно одобрение. Но при вылете из России авиакомпания тоже проверяет, есть ли у пассажира право на въезд. Обычно они смотрят в базу Timatic, где статус K-ETA подтягивается по номеру паспорта. Поэтому паспорта чаще всего достаточно. Я бы всё равно сохранила PDF с подтверждением в телефон и заодно распечатала лист. У меня в практике была история: K-ETA одобрена, но на стойке в Домодедове система почему-то не выдавала статус. Показали бумагу с номером разрешения, и вопрос закрыли за минуту. Такое бывает редко, но из-за такой мелочи не хочется рисковать.