Можно ли не лететь дальше при пересадке в Баку и остаться в городе?

Если билет выписан одним маршрутом, то пропуск сегмента Баку—Тбилиси автоматически аннулирует обратный купон. Это стандартная практика: рейс, на который вы не явились, считается no-show, и система закрывает все последующие участки. AZAL тут не исключение. Багаж кстати улетит в Грузию, если вы сдали его на стойке в Москве. Я посмотрел бы на ситуацию с другой стороны. Вы прилетаете в Баку, не садитесь на второй рейс — билет в Тбилиси сгорает, и обратный Тбилиси—Москва тоже закрывается. Даже если предупредить сотрудника, что не летите дальше, вряд ли перепишут билет. Проще купить отдельный билет Москва—Баку—Москва, а Тбилиси потом при необходимости. И, да, если вы летите по сквозному билету в страну, где нужна виза, в Москве могут не пустить на первый рейс, даже если планируете остаться в Баку. С Тбилиси для россиян вопросов нет, а вот с другими направлениями такое встречается.