Нужно ли согласие второго родителя для выезда ребенка в Азербайджан?

Достаточно одного из родителей, доверенность не нужна. Позвоните в аэропорт, чтобы удостовериться. Там служба таможни объяснит все правила. Обычно при выезде с одним родителем проблем не возникает, но лучше уточнить нюансы заранее, особенно если у вас нестандартная ситуация (например, разные фамилии у родителя и ребенка).

Не нужно. Я летал с ребенком в Азербайджан без согласия жены, и никаких вопросов не было. Главное — иметь при себе свидетельство о рождении ребенка. Но если у вас есть сомнения, можно оформить доверенность у нотариуса для перестраховки.