Может ли у меня быть гражданство Узбекистана, если я родился в Узбекской ССР и переехал в Россию в 1995 году?

Если паспорта не было, то нет. Гражданство Узбекистана не присваивается автоматически, даже если вы родились на территории республики. Для его получения необходимо было пройти процедуру оформления, что, судя по вашему описанию, не было сделано ни вами, ни вашими родителями.

На сайте узбекского посольства в России обратитесь. Там можно уточнить все детали по поводу гражданства. Возможно, вам потребуется предоставить дополнительные документы, подтверждающие ваше рождение на территории Узбекистана.

Нет. Начиная с 2005 года все, кто не обращался в органы РУз за обменом советского паспорта на национальный, получали статус ЛБГ. Если гражданство РУз официально не выдавалось, то и быть его у Вас не может. В вашем случае, поскольку вы получили российский паспорт, гражданство Узбекистана автоматически не присваивается.